Розв’язання крайової задачі на основі двовимірного методу скінченних елементів

Abstract

UA : Робота викладена на 46 сторінках друкованого тексту, містить 16 рисунків, 18 джерел. Об’єкт дослідження: застосування різних апроксимуючих функцій у методі скінченних елементів та його застосування до розв’язання двовимірних крайових задач. Мета роботи: на основі використання многочленів різного степеня як апроксимуючих функцій побудувати матриці жорсткості скінченних елементів та розв’язати за їх допомогою двовимірні крайові задачі. Методи дослідження: аналітичний, чисельний, порівняльний. У кваліфікаційній роботі надаються основні теоретичні відомості про вибір апроксимуючих функцій у методі скінченних елементів. Розглядається застосування лінійних та квадратичних многочленів для отримання співвідношень для функцій форми плоских скінченних елементів. Для різних варіантів апроксимуючих многочленів побудовано матриці жорсткості чотирикутних скінченних елементів. Із застосуванням отриманих матриць жорсткості скінченних елементів для двох двовимірних крайових задач побудовано системи розв’язувальних рівнянь й отримано розв’язки при різних сітках розбиття на чотирикутні скінченні елементи. Досліджено збіжність результатів чисельних розрахунків для різних варіантів використаних апроксимуючих функцій.

EN : The work is presented on 46 pages of printed text, 16 figures, 18 references. The object of the study is the use of various approximating functions in the finite element method and its application to the solution of two-dimensional boundary value problems. The aim of the study is based on the use of polynomials of various degrees as approximating functions, to construct stiffness matrices of finite elements and solve two-dimensional boundary value problems with their help. The methods of research are analytical, numerical, comparative. The qualification work provides basic theoretical information on the choice of approximating functions in the finite element method. The application of linear and quadratic polynomials to obtain relations for the shape functions of plane finite elements is considered. For different variants of approximating polynomials, stiffness matrices of quadrilateral finite elements were constructed. Using the obtained stiffness matrices of finite elements, systems of solution equations were constructed for two two-dimensional boundary value problems and solutions were obtained for different grids of division into quadrilateral finite elements. The convergence of the results of numerical calculations for different variants of the used approximating functions was investigated.