Апроксимація функцій в методі скінченних елементів основі розкладань у ряд Тейлора

Abstract

UA : Робота викладена на 46 сторінках друкованого тексту, містить 5 рисунків, 16 джерел. Об’єкт дослідження: розкладання функцій у ряд Тейлора при апроксимації в методі скінченних елементів. Мета роботи: отримати аналітичні співвідношення для матриць жорсткості трикутних скінченних елементів на основі розкладання апроксимуючих функцій у ряд Тейлора. Методи дослідження: аналітичний, чисельний, порівняльний. У даній кваліфікаційній роботі проведено аналіз використання розкладання функцій у ряд Тейлора при розв’язанні різних математичних та технічних задач. Описано основні співвідношення методу скінченних елементів та його модифікації моментної схеми скінченного елементу. Для тривузлового та шестивузлового трикутних скінченних елементів для апроксимації функцій використано їх розкладання у ряд Тейлора з подальшим їх перетворенням згідно моментної схеми скінченного елементу. На основі отриманих апроксимацій побудовано матриці жорсткості тривузлового та шестивузлового трикутних елементів. За допомогою отриманих співвідношень для матриць жорсткості отримано розв’язок задачі плоскої теорії пружності про згин консольної балки при різних сітках розбиття на скінченні елементи. Проведено порівняльний аналіз чисельних результатів з відомим аналітичним розв’язком.

EN : The work is presented on 46 pages of printed text, 5 figures, 16 references. The object of the study is the expansion of functions into a Taylor series with approximation in the finite element method. The methods of research are analytical, numerical, comparative. In this qualification work, an analysis of the use of the Taylor series expansion for functions in solving various mathematical and technical problems was carried out. The main relationships of the finite element method and its modification – finite element moment scheme are described. For three-node and six-node triangular finite elements, their expansion into a Taylor series was used to approximate the functions, followed by their transformation according to the finite element moment scheme. Based on the obtained approximations, stiffness matrices of three-node and six-node triangular elements were constructed. With the help of the obtained ratios for the stiffness matrices, the solution of the problem of the plane elasticity theory about the bending of the console beam with different meshes of the finite elements was obtained. A comparative analysis of numerical results with a known analytical solution was carried out.