Застосування методу найменших квадратів для поліпшення апроксимації в методі скінченних елементів

Abstract

UA : Робота викладена на 42 сторінках друкованого тексту, містить 7 рисунків, 24 джерела. Об’єкт дослідження: уточнена схема методу скінченних елементів. Мета роботи: отримати матрицю жорсткості двовимірного скінченного елементу на основі покращеної апроксимації функцій форми та застосувати її до розв’язання крайової задачі. Методи дослідження: аналітичний, чисельний. У роботі розглянуто теоретичні основи методу скінченних елементів та методу найменших квадратів, проаналізовано їх застосування до розв’язання крайових задач для рівнянь теорії пружності. Наведено основні співвідношення для плоского чотиривузлового чотирикутного скінченного елементу. Запропоновано уточнену схему апроксимації функції переміщень на основі доповнення розкладу за степеневими функціями з визначенням додаткових коефіцієнтів методом найменших квадратів. Отримано матрицю жорсткості скінченного елементу для класичної та уточненої схем. Виконано програмну реалізацію для чисельного розв’язання двовимірної крайової задачі про деформування шарнірно опертої балки під дією рівномірно розподіленого навантаження. Проведено порівняльний аналіз результатів чисельних розрахунків із аналітичним розв’язком. Встановлено, що уточнена схема методу скінченних елементів забезпечує суттєве зменшення похибки та кращу збіжність результатів порівняно з класичною схемою при однакових сітках дискретизації.EN : The work is presented on 42 pages of printed text, 7 figures, 24 references. The object of the study is to obtain the stiffness matrix of a two-dimensional finite element on the basis of improved approximation of shape functions using the least squares method and to apply it to the solution of a boundary value problem. The methods of research are analytical and numerical. The thesis deals with the theoretical foundations of the finite element method and the least squares method and their application to the solution of boundary value problems of elasticity theory. The basic relations for a planar four-node quadrilateral finite element are derived. On the basis of the power series expansion of the displacement function, an extended approximation with additional terms is constructed. The coefficients of the additional terms are determined by minimizing the sum of squares according to the least squares method. In this thesis the stiffness matrix of the finite element is obtained for both the classical and the refined schemes. A numerical solution of the two-dimensional boundary value problem of deformation of a simply supported beam under uniformly distributed load is performed. A comparison of numerical results with the analytical solution is carried out. It is shown that the refined finite element scheme provides higher accuracy and better convergence in comparison with the classical scheme for identical discretization meshes.